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当图像中存在加性噪声和周期噪声时，图像会发生退化。为了复原受损的图像，我们需要利用噪声的不同特点，通过空间域和频率域滤波器对图像进行处理，最终使复原后的图像尽可能接近真实的图像。
图像退化的过程可以用一个退化函数 H 和加性噪声项 η 表示。通过设计合适的滤波器，我们可以在空间域或频率域对图像进行复原。具体来说，复原的数学表达式为：
[ f^{\hat{f}}(x, y) = H(u, v) \ast f(x, y) + η(x, y) ]
在频率域中，复原的关系式为：
[ G(u, v) = H(u, v)F(u, v) + N(u, v) ]
其中，( G(u, v) ) 是复原图像的频谱，( F(u, v) ) 是原图像的频谱，( H(u, v) ) 是滤波器频谱，( N(u, v) ) 是噪声的频谱。
以下是几种常见的噪声模型及其概率密度函数：
高斯噪声：概率密度函数为：
[ p(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{\frac{-(z - \mu)^2}{2\sigma^2}} ]
高斯噪声具有正态分布特征，具有平滑的波形。
椒盐噪声：概率密度函数呈现双极分布，适合处理图像中的孤立点污染。
瑞丽噪声：具有多峰特性。
伽马噪声 和 指数噪声 也被广泛应用于图像处理任务中。
周期噪声通常由电机或电力干扰引起，在频率域中表现为正交脉冲。通过在频率域中添加对称的陷波滤波器，可以有效减少周期噪声的影响。
滤波器（Kernel）是图像复原的核心工具，其种类和尺寸会直接影响复原效果。
算术均值滤波器： [ \hat{f}(x, y) = \frac{1}{mn} \sum_{(s, t) \in S_{xy}} g(s, t) ] 适用于均匀随机噪声（如高斯噪声），能够有效平滑图像。
几何均值滤波器： [ \hat{f}(x, y) = \left( \prod_{(s, t) \in S_{xy}} g(s, t) \right)^{\frac{1}{mn}} ] 保留图像细节，灰度值接近原图。
谐波均值滤波器：通过计算图像每个像素的调制值，适用于盐粒噪声（椒盐噪声）消除。
中值滤波器 和 最值滤波器：适用于处理单极或双脉冲噪声，能快速定位图像中的异常区域。
自适应滤波器：根据噪声和图像特性自动调整滤波强度。
实验表明，算术均值滤波器在处理高斯噪声时能显著降低噪声，且保留图像细节。几何均值滤波器在保留图像细节方面表现优于算术均值滤波器。
在频率域中，周期噪声表现为一对共轭脉冲。通过设计带阻滤波器，可以有效减少周期噪声的影响。带阻滤波器的设计依赖于滤波器的半径和宽度，使其能够精准包围噪声频谱。
逆滤波是对退化过程的反向操作，通常用于校正滤波器对图像的影响。常用的方法包括维也纳滤波，其中 K 值的选择需要根据图像特性进行优化。
本章探讨了图像退化与复原的核心问题，分析了多种滤波器及其适用场景。选择合适的滤波器和参数对于图像复原效果至关重要。这一研究为后续的图像处理算法提供了理论基础和实践经验。
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